戴震评传-第30章
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作为有哲学头脑的自然科学家，戴震从天文研究本身看到了天文研究中的相关情形，这使他的研究视野更为广阔，瞩目于天文研究的视角也更为深邃。他说：① 第谷的岁实365。24218350 日，朔策为29。53059300 日，牛顿的岁实：365。24233442 日，朔策为29。53059333日。
② 《朱子全书·天度》，见《四部备要》本《朱子全书》。
③ 《迎日推策记》，见《戴震全集》一，清华大学出版社264 页。
① 《续天文略》卷上，《星见伏昏旦中》，见《安徽丛书》第六期《戴东原先生全集》。日之发敛以赤道为中，月之出入以黄道为中，此天所以有寒暑进退，成生物之功也。凡地之方所，近日下，盛阳下行，故暑；日远侧照则气寒。寒暑之候，因地而殊。中土值内衡之下以北，其外衡之下以南，寒暑与中土互易。中衡之下，两暑而无寒，暑渐退如春秋分乃复。南北极下，凝阴常寒矣。
天体运动形成了寒暑变化，全球各地寒暑变化不一，可按视运动轨道相应的地理位置具体说明之，寒暑变化的最重要的作用促成了万物生长。这等于是说，天体运动是生命运动的基础。这一关于客观存在的宏观领域内的运动转化的观点，较之戴震亦曾阐述过的天文研究为农业指点时节，并以绝妄语礼祥，破除迷信②，则有更深刻的唯物主义的理论意义。它使门类科学中堪称科学哲学的天体运动经由若干中介条件向生命运动转化的运动观，与堪称科学的世界观的一般唯物主义运动转化论密切关联起来。
在戴震的唯物主义自然观中，“气”具有极重要的地位，一切都是靠气的支持，联结、转化。岁差之所对日月星辰的运动都能发生作用，是因为“气”③，人站在地球上不感到倾斜，也是因为“气”，地球之所以不坠落，也是因为“气”：“六合皆天，则六合皆上，地在中心，则中心为下，以气固而内行，故终古不坠？？推原其故，唯‘大气举之’一言足以蔽之。”④乃至万物的化生都是“气”的作用，因“气化”而产生多种物种。戴震无所不包的气论是个朴素辩证法的系统。
① 《原象·璇玑玉衡》，见《戴震集》，上海古籍出版社1980 年版109 页。② 见《续天文略序》，载《戴震集》上海古籍出版社1980 年127 页。
③ 见《续天文略》卷中，载《安徽丛书》第六期《戴东原先生全集》。
④ 同上。
五、戴震数学中的科学哲学问题
如前所说，门类科学中的哲学问题，是一种客观存在，问题是是否对它着手研究。综观《勾股割图记》、《策算》、有关传统数学书的《四库全书总目》提要等，戴震确实对数学研究有潜在的科学思想作指导。
数学研究运用于天文，由天文研究引发对数学的浓厚兴趣，这在《勾股割圆记》中尤为明确。《割圆记》列入《原象》，作为《七经小记》之一，足见作者的应用思想。本来，从科学史看，天文和数学是一对孪生兄弟，互为前提，互相促进的，《割圆记》上中下三卷，分别以平面直角三角形勾股弦、球面直角三角形勾股弦和球面斜三角形为研究对象，三部分内容均可以平面三角和球面三角证明之。后两部分和古代天文中的天体视运动轨道、轨道交角、天球经纬度拟测等，结合得尤紧，有关天体视运动问题贯穿于球面勾股弦结终。《割圆记》中开头便说：如赤道为一规，黄道为一规，赤道即《周髀》之中衡，黄道自南而北，交于春分，自北而南，交于秋分，二分（按：春分、秋分）相距半天周。？？如分、至（按：夏至、冬至）相距四分天周之一。更为一规，过二至、二极（按：北天极、南天极）为玉衡之中维（吴曰：今名二极、二至交圈）。赤道距北极，黄道距北极漩巩（吴曰：今名黄道极），皆四分天周之一，北极璇玑距正北极与黄道距赤道相等（按：指黄赤交角，皆为23°26’）。以天球视圆面说勾股，宗旨十分明确，所说内容，经验证完全正确，在明确天球视圆面的构成以后，戴震以球面直角三角形的勾、股定天球的经、纬度。他说：“经之内规之谓之经弧（按：球面直角三角形之勾，亦即赤纬），纬之内截其规谓之纬弧（按：球面直角之股，亦即黄经之余弧）。”他所举出的古代测定经纬度的方直仪，实际上就是球面直角三角形测量仪。
为使读者弄懂用球面直角勾股计算经纬度，几乎在每一勾股术之前，戴震都要列出球面勾股弦与相应勾股术中术语的对应关系，体现出数学术语系统，当然也是数学关系系统的个别一一对应和成系统的层次对应。例如经度系统和纬度系统的勾股对应：①勾 股 弦经度（矩分） 圆半径 经度（径引数）
经度（内矩分） 经度（次内矩分）径隅圆半径 经度（次矩分）经度（次引数）
经弧（矩分） 纬度（次内矩分）虚经弧（内矩分） 虚 纬弧（次内矩分）
勾 股 弦纬度（矩分） 圆半径 纬度（径引数）
纬度（内矩分） 纬度（次内矩分） 径隅圆半径 纬度（次矩分）纬度（次引数）
勾 股 弦纬弧（矩分） 经度（次内矩分） 虚纬弧（内矩分） 虚 经弧① 戴震的经度在天文学上实际上是指黄道和赤道的交角，后改称经限，赤经的余弧，叫纬度，后改称纬限。以上第一表和勾股弦的对应中，同是经度、经弧，但由于割圆法的不同（正切、正弦）引起不同概念的同一对应，第二表中纬度和纬弧亦然，两表比较，是同一大勾股系统的子系统的分别对应。两个子系统都可用球面直角勾股法解之，因而两个子系统也是有内在的对应关系的，这就形成近层次的勾股对应（同一子系统内）和远层次的勾股对应（不同子系统内）。凡此种种，都存在着推类逻辑的使用，归纳是其寻找对应的主要方法，归纳成系统表以后，便于实施球面三角求解中的演绎过程。《割圆记》全书诸多对应表，实际上代表勾股使用的类别，故它冠于每一勾股术使用的前面，作为基本概念的说明。就全书而论，它还是勾股原理的纲目，故它置于一般原理的说明之后，以准备将一般原理经过这类纲目而进入使用，因而这类有明确层次对应的纲目是原理和使用术的中介系统。
在球面斜勾股中，构制的体例与平勾股和球面直角勾股大致相仿，一般由原理、层次对应的概念说明、勾股使用术构成。球面斜勾股与天体视运动的说明仍是结合得很紧的，正如戴震本人所说：“总三篇几为图五十有五，为术四十有九，记二千四百一十七字，因《周髀》首章之言衍而极之，以备步算之大全，补六艺之逸简。”①但是，和球面直角求天球经纬相比，球面斜勾股更重视数学本身的研究，《记》下第四十五术为边角互求，以对角求斜边，四十六术亦边角互求，以对边求对角，四十七术为重弧法（与求经、纬度结合甚紧）四十八术两边夹一角求对边，及两角夹一边求对角，四十九术为三边求三角，及三角求三边。共五术。我国的数学，十分重视实际应用，在几何学方面，偏重面积、体积和线段长短的计算，不象古希腊人的几何学重视各个定理的逻辑推论。戴震割圆术51 术（《记》上16，中30，下5，戴震说“为术四十有九”，有误），实际上是定义定理构成，外加原理部分的说明，穷尽了三角学的全部定义和定理，仅表达方式上是勾股中法，这在传统数学史上是了不起的创举，它使中法数学不重视原理推证进到了以中法论证中法表达的原理的新阶段，这一进步与戴震熟谙西学有极大关系，要不是西学以其简明，以符号表达的长处取代我国传统数学，中法数学原理的推证还会继续发展下去。事实上，戴震数学的后继者如凌廷堪、焦循、李锐、汪莱都是由中学重视“算法”进而推进到重视“算理”的，但这些推进更多地采取了西学的表达形式。
值得一提的是，戴震在西学东渐的时代弘扬中算，还别有其苦衷的。明清之际的天算家在接受西学的同时，普遍都产生了另一种失落感，他们急于寻找一种其学相似或对应的中学内容，但“古法不彰久矣？？其时书籍未见，文献无征，所谓挽回绝诣者，则纯是臆测耳！”①戴震弘扬中算，会通中西，正是当时科学家心态的某种失落感的普遍反映。但事物发展又是不平衡的，关于用中法研究数理精蕴（如前所说，戴震研治数学也是在熟谙西法，融贯中西的基础上进行的），用中算语言表达数理和计算方法，又曾引起一些人的不满，如凌廷堪（江藩说他“声音训诂，九章八线，皆达其极而抉其奥”）重视西算表达，敌对戴震改西洋名为难懂的古名不以为然。他在嘉庆元年（1796）曾说：“戴氏《勾股割圆记》，惟斜弧两边夹一角，及三边夹角用矢较，不用余弦，为补梅氏所未及。其余皆梅氏成法，亦即西洋成法，但易① 《勾股割圆记》下，载《安徽丛书》六期《戴东原先生全集》。
① 阮元《畴人传·李锐》。商务印书馆国学基本丛书版下册664 页。
以新名耳。如上篇即平三角举要也，中篇即堑堵测量也，下篇即环中黍尺也。其所易新名，如角曰‘觚’，边曰‘矩’，切曰‘外矩’，弦曰‘内矩’，分割曰‘径引数’，同式形之比例曰‘同限互权’皆不足异。”实际上，戴氏的贡献远不止凌氏所说及的，在数学的天文应用，直角三角形和圆的关系、工程测量等都有贡献（见本章三）。又戴震的中算术语，矩分指正切，内矩分指正弦，次矩分指余切，次内矩分指余弦，经引数指正割，次引数指余割，等等。远比凌氏举证全面系统，凡西学三角学名称皆有中学对应。但凌氏仍指出戴震的西学底蕴，还是有识力的。凌氏又说：“《记》中所立新名，惧读之者不解，乃托吴思孝以注之，如‘矩分今曰正切’云云。夫古有是言而云今曰某某，可也；今戴氏所立之名皆后于西法，是西法古而戴氏今矣，而反以西法为今，何也？凡此皆窃所未喻者。”①凌氏“所未喻”的就在于戴震执意要弘扬中算，中华大地上产生的科学远胜西方，乃至“西学东源”。科学是没有国界的，戴震可以不要这样做，但他的中华赤子之心是可以理解的。戴震以后，清代中叶的数学获得大发展不能不说与戴震奠基作用及其数学为经学服务的思想有关。戴震的哲学传人阮元曾评述其数学传人焦循的数学成就说：“里堂之说算，不屑屑举夫数，而数之精意无不包，简而不遗，典而有则，所谓抉以文义，润以道术者非耶？”①“数之精意无不包”，这正是戴震的数学精神。
戴震的勾股原理及五十一术在数学史上是个了不起的贡献。一般认为，勾股弦及其和差互求问题总计有三十六种之多，三国的赵爽著《勾股圆方图注》，解出了二十四种，被认为是了不起的贡献，戴震的勾股原理及五十一术可谓取得了突破性进展，在数学史上是应大书一笔的。
作为自然科学的研究，戴震的《勾股割圆记》较之三角学更富有辩证色彩。恩格斯曾盛赞三角学有辩证法精神，恩格斯这一论断的思路是从发掘三角学和圆的联系而得出结论的。戴震的《割圆记》处处保持着勾股和圆面的紧密联系，处处从三角形和圆的对待关系中寻找数学原理，因而更富有辩证法。恩格斯说：“在综合几何学只从三角形本身详述了三角形的性质并且再没有什么新东西可说之后，一个更广阔的天地被一个非常简单的，彻底辩证的方法开拓出来了。三角形不再被孤立地只从它本身来考察，而是和另一种图形，和圆形联系起来考察。每一个直角三角形都可以看作一个圆的附属物：如果斜边=r，则夹直角的两边分别为正弦和余弦；如果这两边中的一边=r，则另一边=正切，而斜边=正割。这样一来，边和角便得到了完全不同的，特定的相互关系，如果不把三角形和圆这样联系起来，这些关系是决不可能发现和利用的。于是一种崭新的三角论发展起来了，它远远地超过旧的三角理论而且到处可以应用，因为任何一个三角形都可以分成两个直角三角形。三角学从综合几何学中发展出来。这对辩证法来说是一个很好的例证，说明辩证法怎样从事物的相互联系中理解事物，而不是弧立地理解事物。”①如果说，恩格斯盛赞的三角学因和圆的天然联系而充满辩证法是辩证法的体现和完① 见焦循《释轮》一书中《附凌廷堪书》。对《勾股割圆记》的不满，焦循《释弧》自序（1798）云：“戴书务为简奥，变为旧名，恒不易了。”李善兰《则古昔斋算学》刘世仲序（1864）云：“勿庵（按：悔文鼎）之书唯恐人不解；东原之书，唯恐人能解。公私之判，遐哉邈矣。”① 阮元《里堂学算记·总叙》。见焦循《焦氏丛书》光绪本《里堂学算记》。① 恩格斯《自然辩证法》人民出版社1971 年版243 页。
成，那么，戴震《勾股割圆记》以圆为本，研究平三角形，球面直角
